18036. Дан прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине A
и высотой AE
. Точка Z
, отличная от A
, лежит на продолжении катета AB
за точку B
, причём BZ=AB
. Около треугольника AEZ
описана окружность \Omega
; D
— точка пересечения \Omega
с прямой CZ
, отличная от A
, точка F
окружности \Omega
диаметрально противоположна D
, а P
— точка пересечения прямых FE
и CZ
. Касательная к \Omega
в точке Z
пересекает прямую PA
в точке T
. Докажите, что точки T
, E
, B
и Z
лежат на одной окружности.
Указание. Докажите, что прямая AP
— касательная к окружности \Omega
.
Решение. Обозначим \angle ACB=\gamma
. Точки E
, D
, Z
и A
лежат на одной окружности, поэтому
\angle EDC=\angle EAZ=\angle EAB,
а так как прямоугольные треугольники ABC
и EBA
с общим острым углом при вершине B
подобны, то \angle EAB=\angle BCA=\gamma
. Значит, \angle EDC=\angle BCA=\gamma
.
Точка E
лежит на окружности с диаметром DF
, поэтому
\angle EPD=\angle DEF=90^{\circ}~\Rightarrow~\angle EPD=90^{\circ}-\angle EDC=90^{\circ}-\gamma=\angle EAC.
Значит, четырёхугольник EACP
вписанный. Тогда
\angle APZ=\angle CPA=\angle CEA=90^{\circ},
поэтому треугольник PAZ
прямоугольный, а так как PB
— его медиана, проведённая из вершины прямого угла, то PB=AB=BZ
, и тогда \angle ZPB=\angle PZB
.
В то же время,
\angle ABC=90^{\circ}-\gamma=\angle DPC=\angle ZPC,
откуда получаем, что четырёхугольник PEBZ
тоже вписанный. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle PCE=\angle ZPB-\angle PBE,
поэтому
\angle PAE=\angle PCE=\angle ZPB-\angle PBE=\angle PZB-\angle PZE=\angle EZB.
Следовательно, по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 144), прямая AP
— касательная к окружности \Omega
.
Таким образом, TA=TZ
, поэтому
\angle PTZ=\angle ATZ=180^{\circ}-2\angle TAZ=180^{\circ}-2\angle TAB=180^{\circ}-2(\angle PAE+\angle EAB)=
=180^{\circ}-2(\angle ECP+\angle ACB)=180^{\circ}-2\angle ACZ=180^{\circ}-2(90^{\circ}-\angle AZC)=
=2\angle AZC=2\angle PZB=\angle PZB+\angle BPZ=\angle PBA
(последнее равенство верно по теореме о смежном угле треугольника). Следовательно, четырёхугольник TPBZ
вписанный.
Итак, точки T
, P
, B
, Z
лежат на одной окружности и точки P
, E
, B
, Z
лежат на одной окружности. Обе эти окружности описаны около треугольника BPZ
. Значит, они совпадают. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Балканская математическая олимпиада юниоров (JBMO). — 2020, задача 2