18038. Точка H
— ортоцентр остроугольного треугольника ABC
, AD
— высота треугольника, причём AH=HD
. Прямая l
касается описанной окружности треугольника BHC
в точке H
и пересекает стороны AB
и AC
в точках S
и T
соответственно. Точки M
и N
— середины отрезков BH
и CH
соответственно. Докажите, что SM
и TN
параллельны.
Указание. Применив теорему об угле между касательной и хордой, докажите, что прямые SM
и TM
перпендикулярны ST
.
Решение. Достаточно доказать, что прямые SM
и TN
перпендикулярны ST
. Пусть углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно.
Заметим, что
\angle SHB=\angle HCB=90^{\circ}-\beta~\mbox{и}~\angle SBH=\angle ABH=90^{\circ}-\alpha,
откуда
\angle BSH=180^{\circ}-(90^{\circ}-\beta)-(90^{\circ}-\alpha)=\alpha+\beta=180^{\circ}-\gamma.
Значит, \angle AST=\gamma
.
Пусть K
— середина AB
. Тогда KH
— средняя линия треугольника BAD
, поэтому KH\parallel BC
, а так как M
— середина BH
, то KM\parallel AD
. Значит, KM\perp BC
, а тогда KM\perp BC
. Поскольку KH\parallel BC
, то KM\perp KH
, т. е. \angle MKH=90^{\circ}
. Из параллельности KH
и BC
также получаем
\angle KHM=\angle KHB=\angle HBC.
Таким образом,
\angle HMK=90^{\circ}-\angle KHM=90^{\circ}-\angle HBC=90^{\circ}-(90^{\circ}-\gamma)=\gamma=\angle AST=\angle KSH,
поэтому (см. задачу 12) четырёхугольник MSKH
вписанный. Тогда
\angle MSH=\angle MKH=90^{\circ}~\Rightarrow~MS\perp ST.
Аналогично, TN\perp ST
. Следовательно, MS\parallel TN
. Что и требовалось доказать.
Источник: Балканская математическая олимпиада юниоров (JBMO). — 2022, задача 2