18046. Окружность \omega_{3}
радиуса 3 касается внутренним образом окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
радиусов 1 и 2 соответственно, касающихся друг друга внешним образом. Хорда AB
окружности \omega_{3}
касается окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
в различных точках. Найдите AB
.
Ответ. \frac{4}{3}\sqrt{14}
.
Указание. Центры всех трёх окружностей лежат на одной прямой.
Решение. Пусть O_{1}
, O_{2}
и O_{3}
— центры окружностей \omega_{1}
, \omega_{2}
и \omega_{3}
соответственно, а T_{1}
, T_{2}
и T_{3}
соответственно — точки касания окружностей с прямой AB
.
Линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания (см. задачу 1758), поэтому точки O_{1}
, O_{2}
и O_{3}
лежат на одной прямой. Значит,
O_{1}O_{3}=3-1=2,~O_{2}O_{3}=3-2=1.
Кроме того, радиусы O_{1}T_{1}
, O_{2}T_{2}
и O_{3}T_{3}
параллельны, так как они перпендикулярны прямой AB
.
Пусть диагональ T_{1}O_{2}
прямоугольной трапеции O_{1}T_{1}T_{2}O_{2}
пересекает отрезок O_{3}T_{3}
в точке M
. Треугольник O_{3}MO_{2}
подобен треугольнику O_{1}T_{1}O_{2}
с коэффициентом \frac{O_{3}O_{2}}{O_{1}O_{2}}=\frac{1}{3}
, а треугольник T_{3}MT_{1}
подобен треугольнику T{2}O_{2}T_{1}
с коэффициентом \frac{T_{3}T_{1}}{T_{2}T_{1}}=\frac{2}{3}
. Значит,
O_{3}M=\frac{1}{3}O_{1}T_{1}=\frac{1}{3}\cdot1=\frac{1}{3},~T_{3}M=\frac{2}{3}O_{2}T_{2}=\frac{2}{3}\cdot2=\frac{4}{3},
поэтому
O_{3}T_{3}=O_{3}M+O_{T}M=\frac{5}{3}.
Поскольку O_{3}T_{3}
— к хорде AB
окружности \omega_{3}
, то T_{3}
середина AB
(см. задачу 1676). Следовательно,
AB=2AT_{3}=\sqrt{O_{3}A^{2}=O_{3}T_{3}^{2}}=\sqrt{3^{2}-\left(\frac{5}{3}\right)^{2}}=\frac{4}{3}\sqrt{14}.
Источник: Международная математическая олимпиада Naboj. — 2015, задача 42J/32S, с. 12