18050. Точка P
лежит внутри прямоугольника ABCD
, в котором AB=12
. Площадь каждого из треугольников ABP
, BCP
и DAP
численно равна его периметру. Найдите периметр треугольника CDP
.
Ответ. 25.
Решение. Заметим, что площадь S
и периметр T
треугольника численно равны тогда и только тогда, когда радиус r
вписанной окружности треугольника равен 2. Действительно (см. задачу 452),
S=T~\Leftrightarrow~\frac{1}{2}Tr=T~\Leftrightarrow~r=2.
Если точка P
лежит ближе к прямой AD
, чем к прямой BC
, то высота треугольника ADP
, проведённая из вершины P
треугольника меньше высоты треугольника BCP
, проведённой из той же вершины, а так как основания AD
и BC
этих треугольников равны, то площадь первого из них меньше площади второго. Но периметры и радиусы вписанных окружностей этих треугольников BC
равны, поэтому равны и их площади. Противоречие. Аналогично, точка P
не может лежать ближе к прямой BC
, чем к AD
. Таким образом, точка P
равноудалена от прямых AD
и BC
, а значит, она лежит на общем серединном перпендикуляре к сторонам AB
и CD
.
Пусть Q
— проекция точки P
на прямую BC
, M
— середина стороны AB
. Обозначим x=BQ
и y=CQ
. Тогда
S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}AB\cdot PM=\frac{1}{2}AB\cdot QB=6x.
По теореме Пифагора
BP=\sqrt{BQ^{2}+BM^{2}}=\sqrt{x^{2}+36}.
Тогда периметр треугольника ABP
равен
AB+AP+BP=AB+2BP=12+2\sqrt{x^{2}+36}.
По условию задачи площадь треугольника ABP
равна его периметру, т. е.
12+2\sqrt{x^{2}+36}=6x,~\mbox{или}~\sqrt{x^{2}+36}=3x-6,
что равносильно системе
\syst{8x^{2}=36x\\x\gt2,\\}
т. е. x=\frac{9}{2}
.
Аналогично находим, что
CP=\sqrt{CQ^{2}+PQ^{2}}=\sqrt{y^{2}+36}~\mbox{и}~BP=\frac{15}{2}.
Тогда
S_{\triangle BCP}=\frac{1}{2}BC\cdot PQ=\frac{1}{2}\cdot6\cdot\left(y+\frac{9}{2}\right)=(y+\frac{9}{2})+\frac{15}{2}+\sqrt{y^{2}+36},
находим, что y=\frac{5}{2}
. Тогда
CP=\sqrt{y^{2}+36}=\sqrt{\frac{25}{4}+36}=\frac{13}{2}.
Следовательно, периметр треугольника CPD
равен
CP+DP+CD=2CP+CD=2\cdot\frac{13}{2}+12=25.
Источник: Международная математическая олимпиада Naboj. — 2016, задача 48, с. 14