18052. Дан прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине C
. На гипотенузе AB
отмечены точки D
и E
, причём точка D
лежит между A
и E
, а лучи CD
и CE
разбивают угол ACB
на три равные части. Известно, что DE:BE=8:15
. Найдите отношение AC:BC
.
Ответ. \frac{4\sqrt{3}}{11}
.
Решение. Пусть P
— проекция точки D
на прямую BC
. Тогда DP\parallel AC
, поэтому треугольники ABC
и DBP
подобны. Значит, \frac{AC}{BC}=\frac{DP}{BP}
.
Заметим, что
\angle DCP=\frac{2}{3}\cdot90^{\circ}=60^{\circ}.
Тогда из прямоугольного треугольника DPC
получаем
DP=CD\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}CD,~CP=CD\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}CD.
В то же время, по свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{CD}{CB}=\frac{DE}{EB}=\frac{8}{15}~\Rightarrow~CB=\frac{15}{8}CD,
поэтому
BP=CB-CP=\frac{15}{8}CD-\frac{1}{2}CD=\frac{11}{8}CD.
Следовательно,
\frac{AC}{BC}=\frac{DP}{BP}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}CD}{\frac{11}{8}CD}=\frac{4\sqrt{3}}{11}.
Источник: Международная математическая олимпиада Naboj. — 2017, задача 40, с. 14