18058. Дан прямоугольный треугольник ABC
с катетами AC=4-\sqrt{3}
и BC=\sqrt{3}
. Вне этого треугольника построен квадрат ABDE
. На стороне DE
квадрата на точка J
, для которой \angle ACJ
равен 45^{\circ}
. На отрезке CJ
отмечена точка K
, для которой AK\parallel BC
. Найдите площадь треугольника JKE
.
Ответ. \frac{3\sqrt{3}}{8}
.
Решение. Поскольку
AK=AC,~AE=AB,~\angle EAK=\angle EAK=\angle BAC,
то треугольник AEK
равен треугольнику ABC
по двум сторонам и углу между ними. Значит, треугольник AEK
тоже прямоугольный, \angle EKA=90^{\circ}
.
Пусть S
— центр квадрата ABDE
. Поскольку \angle ASB=90^{\circ}=\angle ACB
, точки S
и C
лежат на окружности с диаметром AB
, а так как при этом SA=CB
как половины диагоналей квадрата, то CS
— биссектриса угла ACB
. Тогда точки C
, S
, K
и J
лежат на одной прямой.
Пусть при симметрии относительно центра S
квадрата точки S
точки J
и K
переходят в точки H
и I
соответственно. Точки H
и I
лежат на прямой CJ
, причём H
— на отрезке AB
. Точка E
переходит в B
, так как S
— середина диагонали BE
квадрата. Тогда треугольник JKE
переходит в треугольник HIB
, а по свойству центральной симметрии BI\parallel EK
, поэтому \angle IBC=90^{\circ}
.
Треугольник IBC
прямоугольный и равнобедренный, поэтому
S_{\triangle IBC}=\frac{1}{2}BC^{2}=\frac{1}{2}\cdot3=\frac{3}{2}.
Кроме того (см. задачу 3000)
\frac{S_{\triangle IBC}}{S_{\triangle IBH}}=\frac{IC}{IH}=\frac{IH+HC}{IH}=1+\frac{HC}{IH}.
В то же время, треугольники ACH
и BIH
подобны с коэффициентом
\frac{HC}{IH}=\frac{AC}{IB}=\frac{AC}{BC}.
Следовательно,
S_{\triangle JKE}=S_{\triangle IBH}=S_{\triangle IBC}\cdot\frac{HI}{IC}=S_{\triangle IBC}\cdot\frac{HI}{HI+IC}=S_{\triangle IBC}\cdot\frac{BI}{AC+BI}=
=S_{\triangle IBC}\cdot\frac{BC}{AC+BC}=\frac{3}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+(4-\sqrt{3})}=\frac{3\sqrt{3}}{8}.
Источник: Международная математическая олимпиада Naboj. — 2019, задача 42, с. 12