18062. Диагонали AD
и BE
правильного пятиугольника ABCDE
пересекаются в точке F
. Достроим равнобедренный треугольник AFE
до правильного пятиугольника AFEXY
(обозначим его P
). Вершины ещё одного правильного пятиугольника (обозначим его Q
) — точки пересечений диагоналей правильного пятиугольника ABCDE
. Известно, что AF=1
. Найдите наибольшее из расстояний между вершинами пятиугольников P
и Q
.
Ответ. \frac{3+\sqrt{5}}{2}
.
Решение. Пусть диагонали AC
и BD
пересекаются в точке Z
. Заметим, что правильные пятиугольники P
и Q
гомотетичны с центром F
, поэтому есть две пары вершин, одна из которых — пара X
и Z
, расстояние между которыми наибольшее.
Учитывая, что \angle AFE=108^{\circ}
, FE=FA=1
и \sin18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}
(см. задачу 1494), по теореме косинусов из равнобедренного треугольника AFE
находим
AE^{2}=1+1-2\cdot1\cdot1=2(1-\cos108^{\circ})=2(1+\sin18^{\circ})=2\left(1+\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)=
=\frac{6+2\sqrt{5}}{4}=\frac{(\sqrt{5})^{2}+2\sqrt{5}+1}{4}=\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^{2}~\Rightarrow~AE=\frac{1}{2}(\sqrt{5}+1).
Треугольники AFE
, XFD
и DEF
равнобедренные,
XF=DF=DE=AE=\frac{1}{2}(\sqrt{5}+1)~\mbox{и}~ZF=AF=1,
следовательно,
XZ=XF+FZ=\frac{1}{2}(\sqrt{5}+1)+1=\frac{1}{2}(3+\sqrt{5}).
Источник: Международная математическая олимпиада Naboj. — 2021, задача 34, с. 11