18082. Окружности \Omega_{1}
, \Omega_{2}
и \Omega_{3}
радиусов соответственно 1, 2 и 3 попарно касаются друг друга внешним образом. Окружность \omega
касается каждой из них внешним образом. Найдите радиус окружности \omega
.
Ответ. \frac{6}{23}
.
Решение. Пусть A
, B
, C
и O
— центры окружностей \Omega_{1}
, \Omega_{2}
и \Omega_{3}
соответственно, а радиус окружности \omega
равен r
. Линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, поэтому
AB=3+2=5,~AC=3+1=4,~BC=2+1=3.
Значит (см. задачу 1972), треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине C
.
Рассмотрим прямоугольную систему координат, в которой нужные нам точки имеют координаты C(0;0)
, A(0;4)
, B(3;0)
и O(x;y)
. Тогда
OA=r+3,~OB=-r+2,~OC=r+1,
поэтому
(r+1)^{2}=r^{2}+2r+1=OC^{2}=x^{2}+y^{2},\eqno(1)
(r+2)^{2}=r^{2}+4r+4=OB^{2}=(3-x)^2+y^{2}=x^{2}-6x+9+y^{2},\eqno(2)
(r+3)^{2}=r^{2}+6r+9=OA^{2}=x^{2}+(4-y)^{2}=x^{2}+y^{2}-8y+16.\eqno(3)
Вычитая (2) из (1), получим
6x-9=-2r-3~\Rightarrow~6x=6-2r~\Rightarrow~x=\frac{3-r}{3}.
Вычитая (3) из (1), получим
8y-16=-4r-8~\Rightarrow~8y=8-4r~\Rightarrow~y=\frac{2-r}{2}.
Подставив найденные выражения в (1), получим
r^{2}+2r+1=x^{2}+y^{2}=\frac{(3-r)^{2}}{9}+\frac{(2-r)^{2}}{4},~\mbox{или}~\frac{23}{36}r^{2}+\frac{11}{3}r-1=0.
Обозначим \frac{r}{6}=t
. Тогда
23t^{2}+22t-1=0~\mbox{или}~(23t-1)(t+1)=0,
а так как t\gt0
, то t=\frac{1}{23}
. Следовательно,
r=6t=\frac{6}{23}.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2008, второй раунд, задача 4, с. 7