18086. Около квадрата ABCD
описана окружность \Gamma_{1}
. Точка P
лежит на дуге AC
, содержащей точку B
. Окружность \Gamma_{2}
касается окружности \Gamma_{1}
в точке P
, а также касается диагонали AC
в точке Q
. Точка R
лежит на окружности \Gamma_{2}
, причём прямая DR
— касательная к окружности \Gamma_{2}
. Докажите, что DR=DA
.
Решение. Пусть диагонали AC
и BD
данного квадрата пересекаются в точке M
— центре окружности \Gamma_{1}
, а N
— центр окружности \Gamma_{1}
. Докажем, что точки P
, Q
и D
лежат на одной прямой.
Если точка P
совпадает с B
, то точка Q
совпадает с M
. В этом случае утверждение очевидно. Пусть точка P
отлична от B
, а S
— точка пересечения прямых PQ
и BD
. Заметим, что точки M
, N
и P
лежат на одной прямой, так как линия центров MN
касающихся окружностей \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
проходит через их точку касания P
(см. задачу 1758). Тогда QN\parallel BD
, так как QN\perp AC
и BD\perp AC
. Треугольник PNQ
равнобедренный, NP=NQ
, а MNQ
— внешний угол треугольника PNQ
, поэтому
\angle PSB=\angle PQN=\angle NPQ~\Rightarrow~\angle PMB=\angle MNQ=2\angle PQN=2\angle PSB
В то же время BMP
— центральный угол окружности \Gamma_{1}
. Отсюда получаем, что точка S
лежит на окружности \Gamma_{1}
, а значит, совпадает с точкой D
. Итак, точки P
, Q
и D
лежат на одной прямой.
Прямоугольные треугольники DPB
и DM
с общим острым углом при вершине D
подобны, поэтому \frac{DP}{DB}=\frac{DM}{DQ}
, а так как DB=2DM
, то
DP\cdot DQ=DB\cdot DM=2DM^{2}.
В то же время, по теореме о касательной и секущей DP\cdot DQ=DR^{2}
, поэтому
DR=\sqrt{2}DM=DA.
Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2010, отбор на Международную олимпиаду, задача 4, с. 32