18089. Дан треугольник ABC
с углами \angle A=90^{\circ}
, \angle C=60^{\circ}
и стороной AC=6
. Окружности с центрами A
, B
и C
попарно касаются дуг друга в точках, лежащих на сторонах треугольника. Найдите площадь заштрихованного криволинейного треугольника (см. рис.).
Ответ. 18\sqrt{3}-30\pi+12\pi\sqrt{3}
.
Решение. Пусть r_{a}
, r_{b}
и r_{c}
— радиусы окружностей с центрами A
, B
и C
соответственно. Линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания (см. задачу 1758), поэтому имеем систему
\syst{r_{b}+r_{c}=BC=12\\r_{a}+r_{c}=AC=6\\r_{a}+r_{b}=BC=6\sqrt{3}.}
Из суммы всех трёх уравнений вычтем первое и разделим результат на 2. Получим r_{a}=3+\sqrt{3}
. Аналогично найдём r_{b}=3+3\sqrt{3}
и r_{c}=9-3\sqrt{3}
.
Искомую площадь криволинейного треугольника получим как разность площади S
треугольника ABC
и суммы S_{a}+S_{b}+S_{c}
площадей секторов с углами 90^{\circ}
, 30^{\circ}
и 60^{\circ}
окружностей радиусов r_{a}
, r_{b}
и r_{c}
соответственно. Поскольку площади этих кругов равны
\pi r_{a}^{2}=\pi(3\sqrt{3}-3)^{2},~\pi r_{b}^{2}=\pi(3\sqrt{3}+3)^{2},~\pi r_{c}^{2}=\pi(9-3\sqrt{3})^{2},
то
S_{a}=\frac{1}{4}\pi r_{a}^{2}=\frac{1}{4}\pi(3\sqrt{3}-3)^{2},~S_{b}=\frac{1}{12}\pi(3\sqrt{3}+4)^{2},~S_{c}=\frac{1}{6}\pi(9-3\sqrt{3})^{2}.
Следовательно, искомая площадь равна
S-(S_{a}+S_{b}+S_{c})=\frac{1}{2}\cdot6\cdot6\sqrt{3}-\left(\frac{1}{4}\pi(\sqrt{3}-3)^{2}+\frac{1}{12}\pi(3+3\sqrt{3})^{2}+\frac{1}{6}\pi(9-3\sqrt{3})^{2}\right)=
=18\sqrt{3}-30\pi+12\pi\sqrt{3}.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2010, финальный раунд, задача 1, с. 14