18091. Дана трапеция ABCD
с основаниями BC
и AD
. Известно, что биссектрисы углов BAD
и CDA
пересекаются на серединном перпендикуляре к основанию BC
. Докажите, что либо AB=CD
, либо AB+CD=AD
.
Решение. Пусть M
— середина BC
, P
— точка пересечения серединного перпендикуляра к стороне BC
с прямой AD
, K
— общая точка этого серединного перпендикуляра и биссектрис углов BAD
и CDA
.
Опустим перпендикуляры KL
и KN
на прямые AB
и CD
соответственно. Поскольку AK
и DK
— биссектрисы углов BAD
и CDA
, а прямая MP
— серединный перпендикуляр к отрезку BC
, то KL=KP=KN
(см. задачу 1138) и KB=KC
(см. задачу 1129). Значит, прямоугольные треугольники BLK
и CNK
равны по катету и гипотенузе. Далее рассмотрим четыре возможных случая.
1. Обе точки L
и N
лежат на отрезках AB
и CD
соответственно (рис. 1). Треугольник KBC
равнобедренный, поэтому \angle KBC=\angle KCB
. Тогда из равенства треугольников BLK
и CNK
получаем
\angle ABC=\angle LBK+\angle KBC=\angle NCK+\angle BCK=\angle BCD.
Значит, трапеция равнобедренная (см. задачу 1913). Следовательно, AB=CD
.
2. Обе точки L
и N
лежат на продолжениях отрезков AB
и CD
соответственно. Аналогично предыдущему случаю докажем, что AB=CD
.
3. Точка L
лежит на отрезке AB
, а точка N
— вне отрезка CD
. По свойству биссектрисы угла (см. задачу 1138) AL=AP
и DN=DP
. Тогда из равенства треугольников BLK
и CNK
получаем
AB+CD=(AL+LB)+(DN-NC)=(AP+LB)+(DP-LB)=AD.
4. Точка L
лежит вне отрезка AB
, а точка N
— на отрезке CD
. Аналогично предыдущему случаю докажем, что AB+CD=AD
.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2011, задача 5, с. 21