18092. Окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
пересекаются в точках D
и P
. Общая касательная к окружностям, расположенная ближе к точке D
, чем к P
, касается окружностей \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
в точках A
и B
соответственно. Прямая AD
вторично пересекает окружность \Gamma_{2}
в точке C
. Точка M
— середина отрезка BC
. Докажите, что \angle DPM=\angle BDC
.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой, а также из теоремы о вписанных углах следует, что
\angle BAP=\angle180^{\circ}-\angle ADP=\angle CDP=\angle CBP~\mbox{и}~\angle ABP=\angle BCP.
Значит, треугольники PAB
и PBC
подобны по двум углам.
Прямые PD
и AB
пересекаются в середине S
отрезка AB
(см. задачу 444). Тогда PS
и PM
— соответственные медианы подобных треугольников PAB
и PBC
. Значит, \angle SPB=\angle MPC
. Следовательно,
\angle DPM=\angle DPB+\angle BPM=\angle SPB+\angle BPM=\angle MPC+\angle BPM=\angle BPC=\angle BDC.
Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2011, задача 3, с. 28