18093. Дан треугольник ABC
, в котором AB\gt BC
. Точка D
— середина стороны AC
, E
— точка пересечения биссектрисы угла ABC
и прямой AC
, F
— точка на BE
, для которой CF\perp BE
, G
— точка пересечения CF
и BD
. Докажите, что прямая DF
делит отрезок EG
пополам.
Решение. Поскольку AB\gt BC
, точки D
и E
различны, точки A
, D
, E
и C
расположены в указанном порядке, а так как \angle BCA\gt\angle CAB
, то
\angle ADB=\angle BCA+\frac{1}{2}\angle ABC\gt90^{\circ}.
Значит, точка F
лежит внутри отрезка BE
, а тогда G
— внутри отрезка BD
.
Пусть K
— точка пересечения луча CF
со стороной AB
. Биссектриса BF
треугольника CBK
является высотой, поэтому треугольник CBK
равнобедренный, BK=BC
, а F
— середина CK
. При этом D
— середина AC
, поэтому DF
— средняя линия треугольника AKC
. Следовательно, DF\parallel AK
и DF=\frac{1}{2}AK
.
Из подобия треугольников KGB
и FGD
получаем
\frac{DG}{BG}=\frac{FD}{KB}=\frac{\frac{1}{2}AK}{KB}=\frac{\frac{1}{2}(AB-KB)}{KB}=\frac{\frac{1}{2}(AB-BC)}{BC}.\eqno(1)
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{AE}{CE}=\frac{AB}{CB},~\mbox{или}~\frac{AC-CE}{CE}=\frac{AB}{CB}~\Rightarrow~BC\cdot(AC-CE)=AB\cdot CE~\Rightarrow
\Rightarrow~BC\cdot AC=CE\cdot(AB+BC)~\Rightarrow~CE=\frac{BC\cdot AC}{AB+BC}.
Далее получаем
DE=DC-CE=\frac{1}{2}AC-CE=\frac{1}{2}AC-\frac{BC\cdot AC}{AB+BC}=
=\frac{\frac{1}{2}AC\cdot(AB+BC)-AC\cdot BC}{AB+BC}=\frac{\frac{1}{2}AC\cdot(AB-BC)}{AB+BC}.
Значит,
\frac{DE}{CE}=\frac{\frac{\frac{1}{2}AC\cdot(AB-BC)}{AB+BC}}{\frac{BC\cdot AC}{AB+BC}}=\frac{\frac{1}{2}(AB-BC)}{BC}.
Учитывая (1), получаем, что
\frac{DE}{CE}=\frac{DG}{BG}~\Rightarrow~EG\parallel BC.
Пусть S
— точка пересечения DF
и EG
. Тогда
\angle SGF=\angle EGF=\angle FCB=\angle FKB=\angle GFD=\angle GFS,
поэтому треугольник SFG
равнобедренный, SF=SG
.
В то же время,
\angle SEF=\angle GEF=90^{\circ}-\angle EGF=90^{\circ}-\angle GFS=\angle SFE,
поэтому треугольник SFE
тоже равнобедренный, SF=SE
. Тогда SG=SE
. Следовательно, S
— середина EG
. Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2011, задача 5, с. 28