18095. Точка X
лежит внутри треугольника ABC
. Лучи AX
, BX
и CX
пересекают описанную окружность треугольника ABC
в точках P
, Q
и R
соответственно. Точки U
и V
лежат на лучах AX
и BX
соответственно, причём UV\parallel AB
и UW\parallel AC
. Докажите, что точки Q
, R
, V
и W
лежат на одной окружности.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Треугольник ABX
подобен треугольнику UVX
, а треугольник ACX
— треугольнику UVX
, поэтому
\frac{XA}{XB}=\frac{XU}{XV}~\mbox{и}~\frac{XA}{XC}=\frac{XU}{XV}.
Разделив второе из этих равенств на первое, получим \frac{XB}{XC}=\frac{XV}{XW}
.
По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627)
XC\cdot XR=XB\cdot XQ=\frac{XB}{XC}\cdot XC\cdot XQ=\frac{XV}{XW}\cdot XC\cdot XQ~\Rightarrow~XW\cdot XR=XV\cdot XQ.
Следовательно (см. задачу 114), точки Q
, R
, V
и W
лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.
Аналогично для любого другого случая.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2012, задача 2, с. 20