18096. На сторонах AB
и BC
выпуклого четырёхугольника ABCD
отметили точки M
и N
соответственно. Оказалось, что каждый из отрезков AN
и CM
разбивает четырёхугольник ABCD
на равновеликие части. Докажите, что прямая MN
проходит через середину диагонали BD
.
Решение. Пусть T
— середина диагонали BD
. Медиана CT
разбивает треугольник BCD
на два равновеликих треугольника (см. задачу 3001), а медиана AT
разбивает треугольник BAD
на два равновеликих треугольника, поэтому
S_{ATCD}=S_{\triangle ATD}+S_{\triangle CTD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}+\frac{1}{2}S_{\triangle CBD}=
=\frac{1}{2}(S_{\triangle ABD}+S_{\triangle CBD})=\frac{1}{2}S_{ABCD}=S_{ANCD}.
Заметим, что точка T
лежит вне треугольника ACD
(иначе S_{ATCD}\lt S_{\triangle ACD}
, в то время, как S_{ANCD}\gt S_{\triangle ACD}
). Значит,
S_{\triangle ATC}=S_{ATCD}-S_{\triangle ACD}=S_{ANCD}-S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ANC},
а так как AC
— общая сторона равновеликих треугольников ATC
и ANC
, то равны их высоты, опущенные на эту сторону, а тогда TN\parallel AC
. Аналогично докажем, что TM\parallel AC
, поэтому точки M
, T
и N
лежат на одной прямой. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2012, задача 4, с. 21