18099. Дан четырёхугольник ABCD
с параллельными сторонами AB
и CD
. Точка M
— середина диагонали AC
. Известно, что треугольники ABM
и ACD
равновелики. Докажите, что DM\parallel BC
.
Решение. Медиана BM
треугольника ABC
разбивает треугольник ABC
на два равновеликих треугольника (см. задачу 3001), поэтому площадь треугольника ABC
вдвое больше площади треугольника ABM
, а значит, вдвое больше площади треугольника ACD
.
Пусть K
— середина отрезка AB
. Высоты треугольников ABC
и ACD
, проведённые из вершин C
и A
соответственно, равны, а площадь ABC
вдвое больше площади ADC
, поэтому основание AB
первого из них вдвое больше основания CD
второго, т. е. AB=2CD=BK
. Значит, BCDK
— параллелограмм. Тогда DK\parallel BC
.
Поскольку MK
— средняя линия треугольника ABC
, то MK\parallel BC
. Значит, MK\parallel BC
, поэтому точки D
, K
и M
лежат на одной прямой. Следовательно, DM\parallel BC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2013, задача 1, с. 25