18102. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке P
. Точки X
, Y
и Z
лежат на сторонах AB
, BC
и CD
соответственно, причём AX:XB=BE:EC=CZ:ZA=2:1
. Известно, что прямая XY
касается описанной окружности треугольника CYZ
, а прямая YZ
касается описанной окружности треугольника BXY
. Докажите, что \angle APD=\angle XYZ
.
Указание. См. задачу 87.
Решение. По теореме об угле между касательной и хордой \angle CZY=\angle BYX
и \angle BXY=\angle CYZ
, поэтому
\angle XYZ=180^{\circ}-\angle BXY-\angle CYZ=180^{\circ}-\angle BYX-\angle BXY=\angle ABC.
Треугольники XBY
и YCZ
подобны, поэтому
\frac{XB}{BY}=\frac{YC}{CZ},~\mbox{или}~\frac{\frac{1}{3}AB}{\frac{2}{3}BC}=\frac{\frac{1}{3}BC}{\frac{2}{3}CD}~\Leftrightarrow~\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{CD},
а так как \angle ABC=\angle BCD
, то треугольники ABC
и BCD
подобны. Значит, \angle CAB=\angle DBC
. Тогда
\angle PAB+\angle ABP=\angle CAB+\angle ABD=\angle DBC+\angle ABD=\angle ABC,
а так как выше было доказано, что \angle XYZ=\angle ABC
, то по теореме о внешнем угле треугольника
\angle APD=\angle PAB+\angle ABP=\angle ABC=\angle XYZ.
Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2013, задача 2, с. 36