18104. Перпендикуляры, опущенные из вершин A
и B
прямоугольника ABCD
на диагональ BD
разбивают её на отрезки, равные 4, 5 и 4. Пусть AD\lt AB
. Найдите отношение \frac{AB}{AD}
.
Ответ. \frac{3}{2}
.
Решение. Пусть F
и E
— основания перпендикуляров AF
и CE
. Прямоугольные треугольники AFD
и CEB
равны гипотенузе острому углу, поэтому AD=BE=4
и FE=5
.
Поскольку AF
— высота прямоугольного треугольника ABD
, проведённая из вершины прямого угла, то (см. задачу 2728)
AB^{2}=BF\cdot BD=9\cdot21~\mbox{и}~AD^{2}=DF\cdot DB=4\cdot21.
Значит,
\frac{AB^{2}}{AD^{2}}=\frac{9\cdot21}{4\cdot21}=\frac{9}{4}.
Следовательно, \frac{AB}{AD}=\frac{3}{2}
.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2013, первый раунд, задача B2, с. 9