18109. Точка H
— ортоцентр остроугольного треугольника ABC
. Прямая, проходящая через вершину A
перпендикулярно AC
, и прямая, проходящая через вершину B
перпендикулярно BC
, пересекаются в точке D
. Окружность с центром C
, проходящая через точку H
, пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точках E
и F
. Докажите, что DE=DF=AB
.
Указание. Точка D
лежит на описанной окружности треугольника ABC
, точка E
— на меньшей дуге AC
(или BC
) этой окружности, а ADBE
— равнобедренная трапеция.
Решение. Поскольку треугольник ABC
остроугольный, точка H
лежит внутри него, поэтому точки пересечения описанной окружности \Gamma
и окружности \Omega
с центром C
и радиусом CH
лежат на меньших дугах AC
и BC
окружности \Gamma
. Пусть E
лежит на меньшей дуге AC
.
Продолжим отрезок BH
до пересечения с окружностью \Gamma
в точке E'
. Тогда точка E'
симметрична ортоцентру H
относительно прямой AC
(см. задачу 4785). Значит, во-первых, CE'=CH
из симметрии, поэтому точка E'
лежит окружности \Omega
, а во-вторых, точка E'
лежит на прямой BH
. Следовательно, точка E'
совпадает E
.
Поскольку \angle ADB+\angle ACB=180^{\circ}
, точка D
лежит на окружности \Gamma
. Хорды AD
и B
окружности \Gamma
перпендикулярны одной и той же прямой AC
, поэтому они параллельны. Значит, ADBE
— равнобедренная трапеция с основаниями AD
и BE
, а так как DE
и AB
— её диагонали, то DE=AB
.
Аналогично докажем, что DF=AB
. Следовательно, DE=DF=AB
. Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2014, задача 3, с. 32