18119. Около прямоугольного треугольника ABC
с прямым углом при вершине A
описана окружность \Gamma
. Вписанная окружность треугольника ABC
касается гипотенузы BC
в точке D
. Точка E
— середина дуги AB
, не содержащей точки C
, а точка F
— середина дуги AC
, не содержащей точки B
. Докажите, что:
а) треугольники DEF
и ABC
подобны;
б) прямая EF
проходит через точки касания вписанной окружности с катетами AB
и AC
.
Решение. а) Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, т. е. точка пересечения биссектрис треугольника. Поскольку \angle CDI=90^{\circ}
и \angle BFC=90^{\circ}
, точки D
и F
лежат на окружности с диаметром CI
, а так как CI
—биссектриса угла ACB
, то
\angle IFD=\angle ICD=\frac{1}{2}\angle ACB.
В то же время,
\angle IFE=\angle BFE=\angle BCE=\frac{1}{2}\angle ACB.
Значит,
\angle DFE=\angle IFE+\angle IFD=\frac{1}{2}\angle ACB+\frac{1}{2}\angle ACB=\angle ACB.
Аналогично получим, что \angle DEF=\angle ABC
. Следовательно, треугольники DEF
и ABC
подобны по двум углам. Что и требовалось доказать.
б) См. задачу 6699.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2015, задача 3, с. 20