6699. Дан треугольник ABC
. Из вершин B
и C
опущены перпендикуляры BM
и CN
на биссектрисы углов C
и B
соответственно. Докажите, что прямая MN
пересекает стороны AC
и AB
в точках их касания со вписанной окружностью.
Указание. Пусть P
— точка пересечения MN
и AC
. Тогда C
, I
, P
, N
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, P
— точка пересечения MN
и AC
. Точки M
и N
лежат на окружности с диаметром BC
, поэтому
\angle MNB=\angle MCB=\angle ACI.
Из точек N
и C
, лежащих по одну сторону от прямой IP
, отрезок IP
виден под одним и тем же углом, значит, точки C
, I
, P
, N
лежат на одной окружности (см. задачу 12), поэтому
\angle CPI=\angle CNI=90^{\circ}.
Следовательно, P
— точка касания прямой AC
с вписанной окружностью (см. задачу 1735). Для стороны AB
доказательство аналогично.
Примечание. Верно и обратное утверждение (см. задачу 58).