18120. AH
— высота остроугольного треугольника ABC
, в котором AH=3BH
. Точки M
и N
— середины сторон AB
и AC
соответственно. Точки P
и B
лежат по разные стороны от прямой AC
, причём NP=NC
и CP=CB
. Докажите, что \angle APM=\angle PBA
.
Указание. Докажите, что треугольник APC
прямоугольный, а AP
— касательная к окружности с центром C
, на которой лежат точки B
, M
и P
.
Решение. В треугольнике APC
медиана PN
равна половине стороны AC
, значит, треугольник APC
прямоугольный с прямым углом при вершине P
(см. задачу 1188).
Поскольку
MH=\frac{1}{2}AB-BH=\frac{1}{2}AB-\frac{1}{4}AB=\frac{1}{4}AB=BH,
высота CH
треугольника BCM
является его медианой, поэтому CM=CB=CP
. Значит, точки B
, P
и M
лежат на окружности с центром C
и радиусом CB
, а так как CP\perp AP
, то AP
— касательная к этой окружности. Следовательно, по теореме об угле между касательной и хордой
\angle APM=\angle PBM=\angle PBA.
Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2016, задача 1, с. 24