18122. В трапеции ABCD
с основаниями AB
и CD
известно, что BC=CD=DA=\frac{1}{2}AB
. Вне трапеции построен равносторонний треугольник APB
. Прямая AB
пересекает CP
и DP
в точках Q
и R
соответственно. Известно, что площадь треугольника APB
равна 12. Найдите площадь четырёхугольника CDRQ
.
Ответ. 5.
Решение. Обозначим CD=a
. Пусть M
— середина AB
. Тогда
AB=2a,~AM=BM=\frac{1}{2}AB=a=BC=CD=DA,
а так как AMCD
и BMDC
— параллелограммы, то треугольники AMD
, DMC
и BMC
равносторонние. Пусть площадь каждого из них равна S
. Коэффициент подобия равносторонних треугольников BCM
и APB
равен \frac{1}{2}
, поэтому
S=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\cdot S_{\triangle APB}=\frac{1}{4}\cdot12=3.
Тогда
S_{\triangle BMC}=S_{\triangle AMD}=S_{\triangle CMD}=3.
Поскольку \angle ABC=60^{\circ}=\angle BAP=60^{\circ}
, то BC\parallel AP
, поэтому треугольники BQC
и AQP
подобны, причём коэффициент подобия равен
\frac{BC}{AP}=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}.
Тогда
\frac{BQ}{AQ}=\frac{1}{2}~\Rightarrow~BQ=\frac{1}{3}AB=\frac{2}{3}a,~MQ=\frac{1}{3}a.
Значит,
S_{\triangle MCQ}=\frac{MQ}{MB}\cdot S_{\triangle BCM}=\frac{1}{3}S=1
(см. задачу 3000). Аналогично, S_{\triangle MDR}=1
. Следовательно,
S_{CDRQ}=S_{\triangle MCQ}+S_{\triangle CMD}+S_{MDR}=1+3+1=5.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2016, второй раунд, задача B3, с. 10