18125. Точка M
— середина стороны BC
остроугольного треугольника ABC
. Точки X
и Y
лежат на биссектрисах углов AMB
и AMC
соответственно, причём \angle BXM=\angle CYM=90^{\circ}
. Прямые AM
и XY
пересекаются в точке Z
. Докажите, что Z
— середина XY
.
Решение. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90^{\circ}
, т. е. \angle XMY=90^{\circ}
(см, задачу 937). Тогда
\angle CMY=\angle YMZ=90^{\circ}-\angle XMZ=90^{\circ}-\angle BMX=\angle MBX.
Значит, прямоугольные треугольники CMY
и MXM
равны по гипотенузе (CM=MB
) и острому углу, поэтому YM=XB
и CY=MX
. Тогда прямоугольный треугольник XMY
равен треугольникам CMY
и MXM
по двум катетам. Значит,
\angle MYZ=\angle MYX=\angle YMC=\angle YMA=\angle YMZ,
поэтому треугольник YZM
равнобедренный, ZY=ZM
. Аналогично, треугольник XZM
равнобедренный, ZX=ZM
. Значит, ZY=ZM=ZX
. Следовательно, Z
— середина отрезка XY
. Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2016, финальный раунд, задача 4, с. 18, вариант 2