18128. Отрезок AK
— диаметр окружности \Omega
. Точка M
лежит внутри окружности, но не на диаметре AK
. Луч AM
пересекает \Omega
в точке Q
. Касательная к \Omega
, проведённая в точке Q
, пересекает прямую, проходящую через точку M
перпендикулярно AK
, в точке P
. Точка L
, отличная от Q
, лежит на окружности \Omega
, причём PL
— касательная к \Omega
. Докажите, что точки K
, L
и M
лежат на одной прямой.
Указание. Докажите, что \angle ALK=90^{\circ}=\angle ALM
.
Решение. Пусть O
— центр окружности \Omega
, а V
— точка пересечения прямых MP
и AK
. Тогда, если точки V
и O
различны, то
\angle OVP=90^{\circ}=\angle OLP,
поэтому четырёхугольник OVPL
(или VOPL
) вписанный (см. задачу 1689). Значит, \angle PVL=\angle POL
. Если же точки P
и L
совпадают, то равенство очевидно. Таким образом, в любом из этих случаев \angle PVL=\angle POL
.
Поскольку PL
и PQ
— касательные к окружности \Omega
, прямоугольные треугольники OQP
и OLP
с общей гипотенузой OP
равны по гипотенузе и катету (OQ=OL
), поэтому \angle POL=\frac{1}{2}\angle QOL
. В то же время, центральный угол QOL
окружности \Omega
вдвое больше вписанного угла LAQ
, т. е. \angle LAQ=\frac{1}{2}\angle QOL
. Значит,
\angle MVL=\angle POL=\angle QAL=\angle MAL,
поэтому четырёхугольник MVAL
вписанный. Тогда
\angle ALM=180^{\circ}-\angle AVM=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}.
В то же время, точка L
лежит на окружности \Omega
с диаметром AK
, поэтому
\angle ALK=90^{\circ}=\angle ALM.
Следовательно, точки K
, L
и M
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2017, задача 1, с. 32