18130. Прямая m
пересекает сторону BC
параллелограмма ABCD
, а также сторону AB
в точке S
. Из вершин A
, B
, C
и D
на прямую m
опущены перпендикуляры. Точки P
, Q
, R
и S
— основания этих перпендикуляров соответственно. Известно, что AP=6
, BQ=7
и DS=25
. Найдите CR
.
Ответ. 12.
Решение. Обозначим CR=x
. Через вершину B
параллелограмма проведём прямую, параллельную m
. Пусть продолжения отрезков AP
, DS
и CR
пересекают эту прямую в точках P_{1}
, S_{1}
и R_{1}
соответственно. Тогда (см. задачу 1874)
AP_{1}+CR_{1}=DS_{1},~\mbox{или}~(AP+PP_{1})+(CR+RR_{1})=DS+SS_{1},
т. е.
(AP+SS_{1})+(CR+SS_{1})=DS+BQ_{1},~\mbox{или}~(6+7)+x+7=25+7~\Rightarrow~x=12.
Следовательно, CR=x=12
.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2017, задача 4, с. 8