18134. В остроугольном треугольнике
ABC
проведена высота
AD
. На прямой
AD
отмечены различные точки
E
и
F
, для которых
AE=BE
и
AF=CF
. Известно, что из точки
T
, отличной от
D
, отрезки
BE
и
CF
видны под прямым углом. Докажите, что
TA^{2}=TB\cdot TC
.
Указание. Треугольники
TBA
и
TAC
подобны по двум углам.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Для любого другого случая решение аналогично изложенному ниже.
Пусть
M
и
N
— середины сторон
AB
и
AC
соответственно. Точка
E
равноудалена от вершин
A
и
B
, поэтому она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку
AB
. Из точек
M
,
T
и
D
отрезок
BE
виден под прямым углом, поэтому пятиугольник
BDTEM
вписан в окружность с диаметром
BE
. Аналогично, пятиугольник
CFDTN
вписан в окружность с диаметром
CF
.
Тогда
\angle NTM=360^{\circ}-\angle DTN-\angle MTD=(180^{\circ}-\angle DTN)+(180^{\circ}-\angle MTD)=

\angle DCN+\angle MBD=\angle BCA+\angle ABC=180^{\circ}-\angle CAB)=180^{\circ}-\angle NAM.

Следовательно, четырёхугольник
AMTN
вписанный.
Докажем, что треугольники
TBA
и
TAC
подобны. Действительно,
\angle NTC=\angle NFC=90^{\circ}-\angle FCN~\mbox{и}~\angle FCN=\angle FCA=\angle CAF,

так как
AF=CF
. Тогда из равнобедренного треугольника
AFC
получаем
\angle NTC=\angle90^{\circ}-\angle FCN=90^{\circ}-\angle CAF=90^{\circ}-\angle CAD=\angle DCA=\angle BCA.

Следовательно,
\angle ACT=\angle NCT=180^{\circ}-\angle NTC-\angle CNT=180^{\circ}-\angle BCA-\angle CNT,

а так как
MN
— средняя линия треугольника
ABC
, то
MN\parallel BC
, поэтому
180^{\circ}-\angle BCA=\angle CNM.

Значит, учитывая вписанность четырёхугольника
AMTN
, получаем
\angle ACT=\angle CNM-\angle CNT=\angle TNM=\angle TAM=\angle TAB.

Аналогично докажем, что
\angle ABT=\angle TAC
. Следовательно, треугольники
TBA
и
TAC
подобны по двум углам. Тогда
\frac{TB}{TA}=\frac{TA}{TC}~\Rightarrow~TA^{2}=TB\cdot TC.

Что и требовалось доказать.
Примечание. Вписанность четырёхугольника
AMTN
следует также из того, что
T
— точка Микеля (см. задачи 6800 и 995).
Источник: Датские математические олимпиады. — 2018, задача 3, с. 29