18139. Около треугольника ABC
описана окружность \Gamma
с центром O
. Точка Q
лежит на описанной окружности \Omega
треугольника BOC
, причём OQ
— диаметр этой окружности. Точка M
лежит на прямой CQ
, а точка N
— на отрезке BC
, причём ANCM
— параллелограмм. Докажите, что прямые AQ
и MN
пересекаются на окружности \Omega
.
Указание. Пусть прямая AQ
вторично пересекает окружность \Omega
в точке T
, отличной от A
. Докажите, что точка T
лежит на прямой NM
.
Решение. Пусть прямая AQ
вторично пересекает окружность \Omega
в точке T
, отличной от A
. Докажем, что точка T
лежит на прямой NM
.
Обозначим \angle BAC=\alpha
. Центральный угол COB
окружности \Gamma
вдвое больше соответствующего вписанного угла BAC
, т. е. \angle BOC=2\alpha
. Поскольку OB=OC
как радиусы окружности \Gamma
, а точка C
лежит на окружности \Omega
с диаметром OQ
, то \angle OCQ=90^{\circ}
. Значит, прямоугольные треугольники OBQ
и OCQ
равны по катету и общей гипотенузе. Тогда
\angle COQ=\angle BOQ=\alpha.
Заметим, что прямые CQ
и BQ
— касательные к окружности \Gamma
(см. задачу 1735). Четырёхугольник ANCM
— параллелограмм, поэтому по теореме об угле между касательной и хордой
\angle AMC=\angle180^{\circ}-\angle MCN=\angle QCN=\angle QCB=\angle BAC=\alpha.
Значит,
\angle CNA=\angle AMC=\alpha.
Поскольку
\angle QTB=\angle BOQ=\alpha=\angle CNA,
то
\angle ATB=180^{\circ}-\angle QTB=180^{\circ}-\angle CNA=180^{\circ}-\angle BOQ=180^{\circ}-\alpha=\angle ANB.
Значит, четырёхугольник ATNB
вписанный.
В то же время, и четырёхугольник ATCM
вписанный, так как
\angle AMC=\alpha=\angle COQ=\angle CTQ=180^{\circ}-\angle ATC.
Тогда
\angle ATM=\angle ACM=180^{\circ}-\angle ACB-\angle QCB=180^{\circ}-\angle ACB-\angle BAC=\angle ABC.
Кроме того, по доказанному
\angle QCB=\angle QOB=\alpha=\angle BAC.
Сумма углов треугольника ABC
равна 180^{\circ}
, поэтому
\angle ATM=\angle ACM=180^{\circ}-\angle ACB-\angle QCB=180^{\circ}-\angle ACB-\angle BAC=\angle ABC.
Из вписанного четырёхугольника ATNB
получаем
\angle ABC=\angle ABN=180^{\circ}-\angle ATN~\Rightarrow~\angle ATM=180^{\circ}-\angle ATN.
Значит, точка T
лежит на прямой NM
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2019, задача 3, с. 29