18155. Дан треугольник ABC
, в котором AB+AC=3BC
. Точка T
лежит на отрезке AC
, причём AC=4AT
. Точки K
и L
лежат внутри отрезков AB
и AC
соответственно, причём KL\parallel BC
и KL
— касательная к вписанной окружности треугольника ABC
. Прямые BT
и KL
пересекаются в точке S
. Найдите отношение \frac{SL}{KL}
Ответ. \frac{2}{3}
.
Указание. Докажите, что S
— точка пересечения медиан треугольника ABL
.
Решение. Пусть r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
. Тогда для площади треугольника ABC
верно равенство
r\cdot\frac{AB+AC+AB}{2}=r\cdot\frac{3BC+BC}{2}=2BC\cdot r.
(см. задачу 452).
С другой стороны, площадь треугольника ABC
равна \frac{1}{2}BC\cdot h
, где h
— высота треугольника ABC
, проведённая из вершины A
. Тогда
2BC\cdot r=\frac{1}{2}BC\cdot h~\Rightarrow~h=4r,
а так как расстояние между прямыми KL
и BC
равно 2r
, то расстояние от точки A
до прямой BC
тоже равно 2r
.
Поскольку KL\parallel BC
, треугольники AKL
и ABC
подобны, поэтому коэффициент подобия равен отношению соответственных высот, т. е. \frac{1}{2}
. Значит, K
и L
— середины сторон AB
и AC
соответственно.
По условию AC=4AT
, поэтому
AT=\frac{1}{4}AC=\frac{1}{2}AL.
Значит, T
— середина AL
. Тогда BT
— медиана треугольника ABL
, а так как K
— середина AB
, то LK
— тоже медиана этого треугольника, S
— точка пересечения его медиан. Следовательно, \frac{SL}{KL}=\frac{2}{3}
.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2021, задача 5, с. 26