18156. Точка H
— ортоцентр остроугольного треугольника ABC
, а O
— центр описанной окружности этого треугольника. Точка K
— центр описанной окружности треугольника SHO
. Докажите, что точка, симметричная K
относительно прямой OH
лежит на прямой BC
.
Указание. Пусть D
— точка пересечения луча AH
с описанной окружностью треугольника ABC
. Используя результат задачи 4785, докажите, что треугольники OHS
и OHD
равны, а прямые LB
и BC
— серединные перпендикуляры к отрезку DH
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Для других возможных случаем решение аналогично изложенному ниже.
Пусть луч AH
пересекает описанную окружность \Gamma
треугольника ABC
в точке D
, а S
— отличная от A
точка пересечения окружностей \Gamma
и описанной окружности \Omega
треугольника AOH
. (Поскольку треугольник ABC
остроугольный, то точки H
и O
лежат внутри него, поэтому точки D
и S
существуют.)
Вписанные в окружность \Omega
углы OSH
и OAH
опираются на одну и ту же дугу, а треугольник OAD
равнобедренный, поэтому
\angle OSH=\angle OAH=\angle OAD=\angle ODA=\angle ODH.
Кроме того, вписанные в окружность \Omega
углы OHA
и OCA
опираются на одну и ту же дугу, треугольники OAS
и ODC
равнобедренные, а четырёхугольник ASHO
вписан в окружность \Omega
, поэтому
\angle OHD=180^{\circ}-\angle OHA=180^{\circ}-\angle OSA=180^{\circ}-\angle OAS=\angle OHS.
Тогда
\angle HOD=180^{\circ}-\angle ODH-\angle OHD=180^{\circ}-\angle OSH-\angle OHS=\angle HOB.
Значит, треугольники OHS
и OHD
с общей стороной OH
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, а так как точки D
и B
(как и точки L
и K
) симметричны относительно прямой OH
, то L
— центр описанной окружности треугольника OHD
.
Поскольку точки D
и H
симметричны относительно прямой BC
(см. задачу 4785), прямая CS
(как и прямая LS
) — серединный перпендикуляр к стороне DH
треугольника OHD
. Следовательно, точки L
, C
и B
лежат на одной прямой. Отсюда получаем утверждение задачи.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2021, задача 3, с. 29