18157. Около треугольника ABC
описана окружность \Gamma
. Точка D
лежит внутри отрезка BC
. Окружность, проходящая через точки B
и D
и касающаяся окружности \Gamma
и окружность, проходящая через точки C
и D
и касающаяся окружности \Gamma
вторично пересекаются в точке E
, отличной от D
. Прямая DE
пересекает окружность \Gamma
в точках X
и Y
. Докажите, что EX=EY
.
Указание. Рассмотрите два случая: точка E
совпадает с O
; точки E
и O
различны. Далее см. задачи 12 и 1676.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Для других возможных случаев решение аналогично изложенному ниже.
Пусть O
— центр окружности \Gamma
, а T
— точка пересечения двух касательных из условия задачи. По теореме об угле между касательной и хордой
\angle BED=\angle DBT=\angle BCT=\angle BAC.
Аналогично, \angle CED=\angle BAC
, поэтому
\angle BEC=2\angle BED=2\angle BAC=\angle BOC.
Значит, точка E
лежит на описанной окружности треугольника BOC
.
Если точки E
и O
совпадают, то EX=EY
как радиусы окружности \Gamma
. Если точки E
и O
различны, то четырёхугольник BCOE
вписанный, поэтому
\angle BEO=180^{\circ}-\angle BCO.
Тогда из равнобедренного треугольника BOC
получаем
\angle BCO=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BOC=90^{\circ}-\angle BAC,
откуда
\angle BEO=180^{\circ}-\angle BCO=180^{\circ}-(90^{\circ}-\angle BAC)=90^{\circ}+\angle BAC.
Тогда
\angle DEO=\angle BEO-\angle BED=(90^{\circ}+\angle BAC)-\angle BAC=90^{\circ},
поэтому OE
— перпендикуляр к хорде XY
окружности \Gamma
. Следовательно, E
— середина отрезка XY
, т. е. EX=EY
. Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2021, задача 1, с. 32