18158. Вершины M
и N
квадрата MNPQ
лежат на стороне BC
остроугольного треугольника ABC
, а вершины P
и Q
— на сторонах AC
и BC
соответственно. Докажите, что площадь квадрата MNPQ
не больше половины площади треугольника ABC
, т. е.
S_{MNPQ}\leqslant\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}.
Решение. Пусть сторона квадрата MNPQ
равна x
, BC=a
, а высота AA'
треугольника ABC
равна h
. Из подобия треугольников AQP
и ABC
получаем (см. задачу 3399)
\frac{x}{a}=\frac{h-x}{h}~\Rightarrow~x=\frac{ah}{a+h}\leqslant\frac{ah}{2\sqrt{ah}}=\frac{1}{2}\sqrt{2S_{\triangle ABC}}.
Следовательно,
S_{MNPQ}=x^{2}\leqslant\frac{1}{4}\cdot2S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC},
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда a=h
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Утверждение задачи верно и в случае, когда MNPQ
— прямоугольник.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2011, задача 2, с. 22