18159. Четырёхугольник ABCD
с перпендикулярными диагоналями AC
и BD
вписан в окружность. Высота DE
треугольника ABD
пересекает диагональ AC
в точке P
. Докажите, что PB=BC
.
Указание. Докажите, что P
— ортоцентр треугольника ABD
. Далее см. задачу 4785.
Решение. Пусть F
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
четырёхугольника ABCD
, Поскольку AF
и DE
— высоты треугольника ABD
, точка P
— ортоцентр этого треугольника. Тогда F
— середина отрезка CP
(см. задачу 4785). Значит, высота BF
треугольника BPC
является его медианой, поэтому треугольник BPC
равнобедренный с основанием CP
. Следовательно, PB=BC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2011, задача 2, с. 34