18162. Около треугольника ABC
вписана окружность с центром O
, а также вписана окружность с центром I
, отличным от O
. Медианы треугольника ABC
пересекаются в точке G
. Докажите, что IG\perp BC
тогда и только тогда, когда AB=AC
или AB+BC=3BC
.
Решение. Обозначим BC=a
, CA=b
, AB=c
, а p
— полупериметр треугольника. Без ограничения общности будем считать, что b\geqslant c
. Пусть M
— середина стороны BC
, а A'
, I'
и G'
— проекции точек соответственно A
, I
и G
на прямую MB
. Тогда (см. задачу 219)
MI'=MB-BI'=\frac{a}{2}-(p-a)=\frac{b-c}{2},
а так как
c^{2}-A'B^{2}=b^{2}-(a-A'B)^{2},
то
A'B=\frac{a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2a},
поэтому
MG'=\frac{1}{2}MA'=\frac{1}{3}(MB-A'B)=\frac{1}{3}\left(\frac{a}{2}-\frac{a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2a}\right)=\frac{b^{2}-c^{2}}{6a}.
Заметим, что условие IG\perp BC
равносильно совпадению точек I'
и G'
, т. е. равенству MI'=MG'
, а это равенство равносильно равенству
\frac{b-c}{2}=\frac{b^{2}-c^{2}}{6a}~\mbox{или}~(b-c)(b+c-3a)=0.
Следовательно, b=c
или b+c-3a=0
. Отсюда получаем утверждение задачи
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2010, задача 2, с. 59