18166. На диаметре AB
полуокружности с центром C
отмечены точки M
и N
, для которых MC\perp NC
. Точка P
отрезка AB
, отличная от C
, лежит на описанной окружности треугольника MNC
. Докажите, что величина \frac{|PM-PN|}{PC}
не зависит от выбора точек M
и N
. Найдите эту величину.
Ответ. \sqrt{2}
.
Решение. Пусть точка P
лежит между A
и C
.
Обозначим CM=CN=R
, поэтому MN=R\sqrt{2}
. Поскольку четырёхугольник MCPN
вписанный, по теореме Птолемея (см. задачу 130) получаем
PM\cdot CN=PC\cdot MN+CM\cdot PN,\mbox{или}~PM\cdot R=PC\cdot R\sqrt{2}+PN\cdot R,
Откуда \frac{PM-PN}{PC}=\sqrt{2}
.
Аналогично для случая, когда точка P
лежит между B
и C
.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2011, задача 1, с. 62