18167. Точка O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, H
— ортоцентр треугольника, M
— середина отрезка AH
. Прямая, проходящая через точку M
перпендикулярно OM
, пересекает стороны AB
и AC
в точках P
и Q
соответственно. Докажите, что MP=MQ
.
Указание. Пусть S
и T
— середины сторон AC
и AB
соответственно. Рассмотрите случай, когда точка P
лежит между A
и A
и T
. Докажите, что MSOT
— параллелограмм.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке (лежит P
между A
и серединой стороны AB
).
Пусть S
и T
— середины сторон AC
и AB
соответственно. Из точек M
и S
отрезок OQ
виден под прямым углом, поэтому четырёхугольник MQSO
вписан в окружность с диаметром OQ
. Тогда \angle MQO=\angle MSO
. Аналогично, четырёхугольник MPTO
вписан в окружность с диаметром OP
. Тогда \angle MPO=\angle MTO
.
Поскольку OT\perp AB
, а по теореме о средней линии из треугольника AHC
получаем, что SM\parallel CH\parallel OT
и SM=\frac{1}{2}CH=OT
(см. задачу 1257), то MSOT
— параллелограмм.
Таким образом,
\angle MQO=\angle MSO=\angle MTO=\angle MPO,
поэтому треугольник POQ
равнобедренный, OP=OQ
. Его высота OM
является медианой. Следовательно, M
— середина отрезка PQ
. Что и требовалось доказать.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2011, задача 4, с. 65