18169. Точка O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Точки P
и Q
лежат внутри сторон CA
и AB
. Известно, что окружность \omega
, проходящая через середины отрезков BP
, CQ
и PQ
, касается прямой PQ
. Докажите, что OP=OQ
.
Указание. Докажите подобие треугольников APQ
и MKL
. Далее см. задачу 2635.
Решение. Заметим, что ML
и KM
— средние линии треугольников CQP
и BQP
соответственно, поэтому ML\parallel CP
и MK\parallel BQ
. Тогда \angle LMP=\angle QPA
, а так как PQ
— касательная к окружности \omega
, то по теореме об угле между касательной и хордой \angle LMP=\angle LKM
. Тогда \angle QPA=\angle LKM
Аналогично, \angle PQA=\angle KLM
. Значит, треугольники APQ
и MKL
подобны по двум углам. Тогда
\frac{AP}{AQ}=\frac{MK}{ML}=\frac{\frac{1}{2}QB}{\frac{1}{2}PC}=\frac{QB}{PC}~\Rightarrow~AP\cdot PC=AQ\cdot QB,
т. е. равны степени точек P
и Q
относительно описанной окружности треугольника ABC
. Значит, если радиус этой окружности равен R
, то
R^{2}-OP^{2}=R^{2}-OQ^{2}
(см. задачу 2635). Следовательно, OP=OQ
. Что и требовалось доказать.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2011, задача 4, с. 74