18171. Точка I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, а A'
, B'
и C'
середины сторон BC
, CA
и AB
соответственно. Известно, что IA'=IB'=IC'
. Докажите, что треугольник ABC
равносторонний.
Указание. Рассмотрите один из шести случаев, например, a\geqslant b\geqslant c
. Далее см. задачу 219.
Решение. Пусть A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— середины сторон BC=a
, CA=b
и AB=c
соответственно, p
— полупериметр треугольника ABC
. Рассмотрим случай a\geqslant b\geqslant c
. Тогда (см. задачу 219)
CA_{1}=p-c=\frac{a+b-c}{2},~BC_{1}=p-b=\frac{a+c-b}{2},~AC_{1}=p-a=\frac{b+c-a}{2}.
Прямоугольные треугольники IA_{1}A'
, IB_{1}B'
и IC_{1}C'
равны катету и гипотенузе, поэтому
A_{1}A'=B_{1}B'=C_{1}C',~\mbox{или}~CA_{1}-CA'=AB'-AB_{1}=BC_{1}-BC',
т. е.
\frac{a+b-c}{2}-\frac{a}{2}=\frac{b}{2}-\frac{b+c-a}{2}=\frac{a+c-b}{2}-\frac{c}{2},
или
b-c=a-c=a-b~\Rightarrow~a=b=c.
Следовательно, треугольник ABC
равносторонний. Что и требовалось доказать.
Аналогично для остальных пяти случаев.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2011, задача 1, с. 86