18182. Точка F
лежит на стороне AB
правильного пятиугольника ABCDE
, причём \angle CDF=55^{\circ}
. Отрезки FC
и BE
пересекаются в точке G
, а точка H
лежит на продолжении отрезка CE
за точку E
, причём \angle DHE=\angle FDG
. Найдите градусную меру угла GHD
.
Ответ. 19^{\circ}
.
Указание. Пусть диагонали BD
и CE
данного пятиугольника пересекаются в точке J
, а отрезки CF
и BD
пересекаются в точке T
. Докажите, что GJ\parallel DF
, а четырёхугольник DHGJ
вписанный.
Решение. Пусть диагонали BD
и CE
данного пятиугольника пересекаются в точке J
. Тогда AB\parallel EJ
и AE\parallel BJ
, поэтому ABJE
— параллелограмм с равными сторонами, т. е. ромб.
Докажем, что GJ\parallel DF
. Пусть отрезки CF
и BD
пересекаются в точке T
. Заметим, что BG
— биссектриса треугольника BTF
, а CJ
— биссектриса подобного ему треугольника CTD
, поэтому (см. задачу 1509)
\frac{TG}{GF}=\frac{BT}{BF}=\frac{CT}{CD}=\frac{TJ}{JD}~\Rightarrow~GJ\parallel DF.
В то же время
\angle BDC=\angle GBT=\angle EBD=\frac{1}{2}\cdot\frac{360^{\circ}}{5}=36^{\circ}.
Кроме того,
\angle JGD=\angle FDG=\angle BTG=\angle EHD=\angle JHD,
поэтому четырёхугольник DHGJ
вписанный. Тогда, учитывая параллельность GJ
и DF
, получаем
\angle GHD=180^{\circ}-\angle GJD=\angle JDF=\angle CDF-\angle BDC=55^{\circ}-36^{\circ}=19^{\circ}.
Источник: Открытая онлайн-олимпиада (OMO). — 2013, задача 23, с. 9