18183. Дан четырёхугольник ABCD
со сторонами AD=20
и BC=13
. Площади треугольников ABC
и DBC
равны 338 и 212 соответственно. Найдите наименьший возможный периметр треугольника ABCD
.
Ответ. 118.
Указание. См. задачу 5004.
Решение. Пусть X
и Y
— проекции вершин A
и D
на прямую BC
, а H
— проекция точки D
на прямую AX
. Тогда
AX=\frac{2S_{\triangle ABC}}{BC}=\frac{2\cdot338}{13}=\frac{676}{13},~DY=\frac{2S_{\triangle DBC}}{BC}=\frac{424}{13}.
Значит,
XY=DH=\sqrt{AD^{2}-AH^{2}}=\sqrt{AD^{2}-(AX-DY)^{2}}=\sqrt{20^{2}-\left(\frac{676}{13}-\frac{424}{13}\right)^{2}}=
=\sqrt{20^{2}-\left(\frac{252}{13}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{260^{2}-252^{2}}}{13}=\frac{\sqrt{8\cdot1100}}{13}=\frac{64}{13}.
Пусть E
— точка, симметричная вершине D
относительно прямой XY
, точка P
— четвёртая вершина прямоугольника XPEY
, а F
четвёртая вершина параллелограмма BCEF
. Тогда
AF^{2}=PF^{2}+AP^{2}=(PE-FE)^{2}+(AX+YE)^{2}=\left(\frac{64}{13}-13\right)^{2}+\left(\frac{676}{13}+\frac{424}{23}\right)^{2}=
=\left(\frac{105}{13}\right)^{2}+\left(\frac{1100}{13}\right)^{2}=85^{2}~\Rightarrow~AF=85.
Значит,
AB+CD=AB+BE\geqslant AF=85,
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда точки A
, B
и F
лежат на одной прямой. Следовательно, искомый наименьший периметр равен
(AB+CD)+AD+BC=85+20+13=118.
Источник: Открытая онлайн-олимпиада (OMO). — 2013, задача 25, с. 11