18189. Точки A
, B
, C
, D
и E
лежат в указанном порядке на одной прямой, а T
— точка, не лежащая на этой прямой, причём \angle BTC=\angle DTE
и AT
— касательная к описанной окружности треугольника BTE
. Известно, что AB=2
, BC=36
и CD=15
. Найдите DE
.
Ответ. 954.
Указание. Докажите, что AT
— касательная к описанной окружности треугольника DTC
.
Решение. Применив теорему об угле между касательной и хордой и теорему о внешнем угле треугольника, получим
\angle ATC=\angle ATB+\angle BTC=\angle BET+\angle DTE=\angle TDC.
Тогда по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, AT
— касательная к описанной окружности треугольника DTC
(см. задачу 144). Значит,
2014=38\cdot53=AC\cdot AD=AT^{2}=AB\cdot AE=2AE~\Rightarrow~AE=1007.
Следовательно,
DE=AE-AD=AE-(AB+BC+CD)=1007-(2+36+15)=1007-53=954.
Источник: Открытая онлайн-олимпиада (OMO). — 2014, задача 12, с. 4