18191. Полуокружность с диаметром EF
на стороне BC
треугольника ABC
касается сторон AB
и AC
. Известно, что B
, E
, F
и C
лежат на прямой BC
в указанном порядке причём BE=1
, EF=24
и FC=3
. Найдите периметр треугольника ABC
.
Ответ. 84.
Указание. См. задачи 93 и 791.
Решение. По теореме о касательной и секущей (см. задачу 93)
BX^{2}=BE\cdot BF=1\cdot25=25,~CY^{2}=CF\cdot CB=3\cdot27=81,
поэтому BX=5
и CY=9
.
Обозначим AY=AX=x
. По формуле Лагранжа (см. задачу 791) получаем
AM^{2}=AB\cdot AC-BM\cdot MC=(x+5)(x+9)-13\cdot15=x^{2}+14x-195.
В то же время, из прямоугольного треугольника AXM
по теореме Пифагора
AM^{2}=AX^{2}+12^{2}=x^{2}+144.
Из равенства
x^{2}+14x-195=x^{2}+144
находим x=21
. Следовательно,
AB+AC+BC=2x+14+28=84.
Источник: Открытая онлайн-олимпиада (OMO). — 2014, задача 11, с. 4