18193. Точки D
и E
лежат на катетах соответственно AB
и AC
равнобедренного прямоугольного треугольника ABC
. Точки X
и Y
— проекции точек соответственно D
и E
на прямую BC
. Известно, что AD=48\sqrt{2}
и AE=52\sqrt{2}
.Найдите XY
.
Ответ. 100.
Решение. Пусть прямые, проведённые через точки D
и E
параллельно BC
, пересекают AC
и BC
в точках D'
и E'
соответственно, а M
— точка пересечения прямых EE'
и DX
. Тогда DE'ED'
— равнобедренная трапеция, а MXYE
— прямоугольник, поэтому (см. задачу 1921)
XY=MF=\frac{DD'+EE'}{2}=\frac{AD\sqrt{2}+AE\sqrt{2}}{2}=\frac{96+104}{2}=100.
Источник: Открытая онлайн-олимпиада (OMO). — 2015, задача 5, с. 2