18196. Дан четырёхугольник ABCD
со сторонами AB=7
, BC=24
, CD=15
, DA=20
и диагональю AC=25
. Диагонали четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке E
. Найдите CE
.
Ответ. 18.
Решение. По теореме, обратной теореме Пифагора (см. задачу 1972) получаем, что треугольники ABC
и ADC
прямоугольные с прямыми углами при вершинах B
и C
. Значит, около четырёхугольника ABCD
можно описать окружность с диаметром AC
.
Треугольники BEC
и AED
подобны по двум углам, поэтому
\frac{BE}{AE}=\frac{BC}{AD}=\frac{6}{5}.
Треугольники AEB
и DEC
тоже подобны по двум углам, поэтому
\frac{CE}{BE}=\frac{CD}{AB}=\frac{15}{7}~\Rightarrow~AE=\frac{7}{18}CE.
Тогда
\frac{CE}{AE}=\frac{BE}{AE}\cdot\frac{CE}{BE}=\frac{6}{5}\cdot\frac{15}{7}=\frac{18}{7}.
Следовательно,
AE+CE=25~\Rightarrow~\frac{7}{18}CE+CE=25~\Rightarrow~\frac{25}{18}CE=25,
откуда CE=18
.
Источник: Открытая онлайн-олимпиада (OMO). — 2016, задача 9, с. 3