18199. Дан квадрат ABCD
со стороной 16 и центром O
. Полуокружность \Gamma
с диаметром AB
расположена вне квадрата. На ней отмечена точка P
, OP=12
. Найдите площадь треугольника CPD
.
Ответ. 136.
Решение. Дополним данную полуокружность \Gamma
до окружности \Gamma'
. Точка P
лежит на окружности \Gamma'
с диаметром OO'=AB=16
, поэтому
\angle OPO'=90^{\circ},~OP=12,~PO'=\sqrt{OO'^{2}-OP^{2}}=\sqrt{AB^{2}-OP^{2}}=\sqrt{16^{2}-12^{2}}=4\sqrt{7}.
Пусть X
и Y
— проекции точки P
на прямые OO'
и AB
соответственно, а M
— середина AB
, т. е. центр окружности \Gamma'
. Тогда (см. задачу 1967)
PX=\frac{OP\cdot PO'}{OO'}=\frac{12\cdot4\sqrt{7}}{16}=3\sqrt{7}~\Rightarrow
\Rightarrow~PY=\sqrt{PM^{2}-YM^{2}}=\sqrt{PM^{2}-PX^{2}}=\sqrt{16^{2}-(3\sqrt{7})^{2}}=1.
Значит, расстояние от точки P
до прямой CD
(т. е. высота CH
треугольника CPD
) равно
PY+AD=1+16=17.
Следовательно,
S_{\triangle CDP}=\frac{1}{2}CD\cdot PH=\frac{1}{2}\cdot16\cdot PH=136.
Источник: Открытая онлайн-олимпиада (OMO). — 2020, задача 4, с. 1