18203. Выпуклый пятиугольник AXYZB
вписан в окружность с диаметром AB
и центром O
. Точки P
, Q
, R
, S
— основания перпендикуляров, опущенных из точки Y
на прямые AX
, BX
, AZ
и BZ
соответственно. Докажите, что угол между прямыми PQ
и RS
вдвое меньше угла XOZ
.
Указание. Пусть T
— основание перпендикуляра, опущенного из точки Y
на прямую AB
. Докажите, что точки P
, Q
и T
лежат на одной прямой — прямой Симсона треугольника ABZ
(см. задачу 83); аналогично, для точек S
, R
и T
.
Решение. Пусть T
— основание перпендикуляра, опущенного из точки Y
на прямую AB
. Из точки Y
, лежащей на описанной окружности треугольника ABZ
, опущены перпендикуляры YS
, YP
и YT
на прямые BZ
, AZ
и AB
. Тогда точки S
, R
и T
лежат на одной прямой — прямой Симсона треугольника ABZ
(см. задачу 83). Аналогично, точки P
, Q
и T
лежат на прямой Симсона треугольника ABX
.
Заметим, что из точек P
, R
и T
отрезок AY
виден под прямым углом. Значит, пятиугольник APYRT
вписан в окружность с диаметром AY
. Аналогично, пятиугольник BSYQT
вписан в окружность с диаметром BY
. Тогда
\angle RTY=\angle RAY=\angle RZY~\mbox{и}~\angle YTQ=\angle YBQ=\angle YBX.
Следовательно,
\angle PTS=\angle PTY+\angle STY=\angle PAY+\angle SBY=\frac{1}{2}\smile XY+\frac{1}{2}\smile ZY=
=\frac{1}{2}\smile XYZ=\frac{1}{2}\smile XOZ.
Что и требовалось доказать.
Источник: Математические олимпиады США. — 2010 задача 3, с. 81