18208. Во вписанном четырёхугольнике ABCD
отметили точку E
— пересечение лучей AD
и BC
и точку F
— пересечение лучей AB
и DC
. Оказалось, что CD=DE
, \angle AEB=51^{\circ}
и угловые меры дуг BC
и AD
находятся в соотношении 2:5
.
а) Найдите градусную меру угла AFD
.
б) Найдите градусную меру меньшей дуги BC
.
Ответ. а) 27^{\circ}
; б) 36^{\circ}
.
Решение. а) Поскольку четырёхугольник QBCD
вписанный, а треугольник CED
равнобедренный, то
\angle DCE=\angle EAB=51^{\circ}~\mbox{и}~\angle ADF=51^{\circ}+51^{\circ}=102^{\circ}
(см. теорему о внешнем угле треугольника). Следовательно, из треугольника ADF
находим, что
\angle AFD=180^{\circ}-51^{\circ}-102^{\circ}=27^{\circ}.
б) Положим \smile BC=2x
и \smile AD=5x
. Известно (см. задачу 27), что
27^{\circ}=\angle AFD=\frac{5x-2x}{2}=\frac{3x}{2}~\Rightarrow~\smile BC=2x=36^{\circ}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2025-26, школьный этап, 3.1, 11 класс