18210. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
. Касательная в точке D
к его описанной окружности параллельна биссектрисе угла ABC
, \angle ABD=10^{\circ}
и \angle DBC=92^{\circ}
. Найдите градусную меру угла BCA
.
Ответ. 31^{\circ}
.
Решение. Пусть X
— точка пересечения биссектрисы угла ABC
с описанной окружностью четырёхугольника ABCD
. Обозначим \angle DAX=\alpha
. Тогда
\angle CBX=\angle ABX=\angle ABD+\angle DBX=\angle ABD+\angle DAX=10^{\circ}+\alpha,
поэтому
\angle DBC=\angle DBX+\angle CBX=\alpha+(10^{\circ}+\alpha)=2\alpha+10^{\circ}=92^{\circ},
откуда \alpha=41^{\circ}
.
Поскольку касательная в точке D
к описанной окружности четырёхугольника ABCD
параллельна хорде BX
, то X
— середина дуги CD
, не содержащей точки B
(см. задачу 1734). Тогда
\angle BCA=\angle BCD-\angle ACD=\angle DBX-\angle ABD=41^{\circ}-10^{\circ}=31^{\circ}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2025-26, школьный этап, 7.1, 10 класс