18218. В прямоугольнике ABCD
со сторонами AB=10
, BC=12
отметили середину M
стороны CD
. На отрезке BM
отметили точку P
, для которой BC=BP
. Найдите площадь четырёхугольника ABPD
.
Ответ. \frac{1140}{13}
.
Решение. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BCM
находим
BM=\sqrt{BC^{2}+CM^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13,
поэтому
PM=BM-BP=13-12=1.
Тогда (см. задачу 3000)
S_{\triangle DPM}=S_{\triangle CPM}=\frac{MP}{MB}S_{\triangle BCM}=\frac{1}{3}\cdot\frac{5\cdot12}{2}=\frac{30}{13}.
Следовательно,
S_{ABPD}=S_{ABCD}-S_{\triangle BCM}-S_{\triangle DPM}=10\cdot12-\frac{5\cdot12}{2}-\frac{30}{13}=\frac{1140}{13}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2025-26, окружной этап, 11.2.1, 11 класс