18220. В остроугольном треугольнике ABC
провели высоту BH
. На дуге AC
описанной окружности треугольника ABC
, не содержащей точку B
, отметили точку X
, для которой BX=BC
. Прямая, проходящая через точку X
параллельно AB
, пересекает отрезки AC
и BC
в точках P
и Q
. Найдите PQ
, если AB=7
, AC=10
, AH=3
.
Ответ. \frac{21}{5}
.
Указание. Вписанная трапеция — равнобедренная. Проведите высоту DS
равнобедренного треугольника CDP
и докажите, что CP=2AH
.
Решение. Пусть луч XP
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке D
. Поскольку ABDX
— вписанная трапеция, то AD=BX=BC
(см. задачу 5003), а так как AD=BX=BC
, то ABDC
— тоже вписанная трапеция, причём BD\parallel AC
.
Заметим, что \angle DCP=\angle CAB=\angle CPD
, поэтому треугольник CPD
равнобедренный. Пусть DS
— его высота. Тогда прямоугольные треугольники DSC
, DPS
и ABH
равны по катету (DS=BH
) и противолежащему острому углу. Значит, CP=2AH
.
Из подобия треугольников CPQ
и CAB
получаем, что \frac{PQ}{AB}=\frac{CP}{AC}
. Следовательно,
PQ=AB\cdot\frac{CP}{AC}=AB\cdot\frac{2AH}{AC}=7\cdot\frac{6}{10}=\frac{21}{5}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2025-26, окружной этап, 11.7.1, 11 класс